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(無題)

 投稿者:koumonka  投稿日:2008年12月18日(木)12時01分56秒
返信・引用
  そうですね。ではまた来年。  
 

Re: Re

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 4月16日(水)12時25分45秒
返信・引用
  > No.38[元記事へ]

こんな感じですか
 

Re: Re

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月15日(火)22時22分30秒
返信・引用
  > No.37[元記事へ]

失礼、軸の名前を間違えました。
 

Re: Re

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月15日(火)21時58分39秒
返信・引用
  > No.36[元記事へ]

ミステリーハンターかなえ:「というわけで、正解は『面積』でした~!」
板東:「あのねぇ、『面積』も『広さ』もおんなじようなもんやないですか!だいたいボカぁ『ようなもの』って書いてるわけですから……」
草野:「いえいえ、板東さん、今回は文句なく正解です。残念ながら『蜂蜜』と書かれた黒柳さん、『胡椒』と書かれたうじきつよしさん、それから『中井貴一』と書かれたまこと君、ボッシュート!」(てぃりってぃりってぃ~)

というわけで、なまけものさん、正解です。

y(t)のグラフにおいてはv(t)が「傾き」として現れていましたが、
そのv(t)を主役にしたグラフでは、今度はy(t)が「面積」として顔を出すことになるわけです。
今回はたまたまv(t)が一定だったので、単純に長方形の面積としてy(t)を捕まえることができましたが、
速度が変化する場合にはどう考えればよいでしょうか。

その簡単な例として、下のように、ときどき瞬間的に速度v(t)が変化する運動を考えてみましょう。
このとき、y(t)のグラフはどうなるでしょうか。お手元で描いてみてください。
面倒だと思いますのでしばらくしたら解答を示しますが、
自分で描いてアップしていただいてもかまいません。
ちなみに 4 ≦ t ≦ 6 では v(t) = -1 < 0 なので、
4秒後から6秒後までは後ろ向きに運動している点にも留意してください。
 

Re: Re

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 4月11日(金)16時07分23秒
返信・引用
  > No.35[元記事へ]

> 算数で図形をいろいろ習ったとき、あるものを求めるために掛け算を使ったはずです。
> さて、その「あるもの」とは何でしょうか?(世界ふしぎ発見風)

こんな感じとちがうかなあ(板東英二風)
 

Re

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月11日(金)15時31分57秒
返信・引用
  > No.34[元記事へ]

>> v(t)のグラフだけ見てy(t)の値を推測しよう、というのが主眼です。
>> 「5×7」などといった「2つの数の積」というものが、
>> 図形的にどういう意味を表すのか、
>
> という質問と
>
>>「5 × 7」という量は、v(t)のグラフのどこに現れるでしょうか。
>>図形的に考えてみてください。
>
>という質問が同じことを聞いているのかすら、よく分かりません。

同じ質問です。

算数で図形をいろいろ習ったとき、あるものを求めるために掛け算を使ったはずです。
さて、その「あるもの」とは何でしょうか?(世界ふしぎ発見風)
 

ホントに全然分からんのですが

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 4月11日(金)13時14分52秒
返信・引用
  > No.33[元記事へ]

> v(t)のグラフだけ見てy(t)の値を推測しよう、というのが主眼です。
>
> 「5×7」などといった「2つの数の積」というものが、図形的にどういう意味を表すのか、

という質問と

>「5 × 7」という量は、v(t)のグラフのどこに現れるでしょうか。図形的に考えてみてください。

という質問が同じことを聞いているのかすら、よく分かりません。

とりあえず後者に答えるとするならば、「5×7」という量は
赤い点を打った(5,7)のところに現れる、ということになるのでしょうか。

そして前者、「2つの数の積」が図形的にどういう意味を表すのか、
と言われてもやはり全くピンとこないのですが、
y(t)の傾きとvの値が同じなので、vとtを掛けるとy(t)の値が導きだされる
という関係にあり、
v(t)のグラフは、tの値がこれこれのときには、こうゆう数字と掛け合わしたら
y(t)の値が出るんやで~、という「これこれ」と「こうゆう数字」を表す点(座標)を
つなぎ合わせたもの、という意味を表す、とか?
 

Re: 全然分からんのですが

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月11日(金)09時22分0秒
返信・引用
  > No.32[元記事へ]

それだと、y(t)のグラフを自分で描き足していることになりますね。
それをせずに、v(t)のグラフだけ見てy(t)の値を推測しよう、というのが主眼です。

y(t)の値(たとえば35)は、座標として現れる必要はありません。
「5×7」などといった「2つの数の積」というものが、図形的にどういう意味を表すのか、
下の図を見て再度考えてみてください。
 

全然分からんのですが

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 4月10日(木)12時10分30秒
返信・引用
  > No.31[元記事へ]

こんな感じでしょうか
 

Re: あああ

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月 9日(水)20時57分19秒
返信・引用
  > No.30[元記事へ]

なるほど、分かりました。正確に言うと「v切片」となります。
「y(t)のグラフの傾きである5という値が、v(t)のグラフのv切片として現れている」
ということですね。
v切片というのはつまるところ t = 0 のときの v の値、すなわちv(0)ですから、
「y(t)の傾き(5)がv(0)として現れている」と言っても良いですね。
さらにここではv(t)は一定なので、v(0)に限らず、
任意の t の値に対して v(t) = 5 という形でy(t)の傾きが現れています。
(切片v(0)はその代表1名、つまり「卒業証書を最後まで読んでもらえる阿部君」に当たります。)
これは、そもそも「y(t)のグラフの傾きだけ取り出したもの」を
v(t)と決めたわけですから、まぁ当然といえば当然です。

もう一度考え直すと、y(7)を知りたいとき、v(t)のグラフだけを見て、
どこかに35という答えを見つけることはできないか
、という問題です。

そこで大きな手掛かりとなるのが、なまけものさんの書かれた

> ( )の中の数字と = の右側の数字を掛けると y( ) =の右側の数字になる。

という事実です。とりあえずグラフを無視すれば、
y(7) = 35 の「35」という答えは、「5 × 7」という計算で出てくるはずです。
それでは再びグラフにかえって、「5 × 7」という量は、
v(t)のグラフのどこに現れるでしょうか。図形的に考えてみてください。
 

あああ

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 4月 9日(水)01時43分7秒
返信・引用
  この場合v(7) = 5 の、カッコの中に何を入れても=の右側は5になるため、
V=5のグラフとして現れることになり、
それは1次関数で言うと
V=0・x+5
ということになるので、5の部分は中学生ちっくに1次関数ちっくに言うと
「切片」になるのかなと
 

Re:主役交代

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月 9日(水)00時31分26秒
返信・引用
  > y(7) = 35 ということは、この関数が切片0の等速運動のグラフだとすると
> 傾きが5ということになり、
> y'(7) = v(7) = 5
> となります。つまりグラフの切片としてあらわれると思います。

「グラフの切片としてあらわれる」というのは、どういう意味でしょうか?
 

Re: 主役交代

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 4月 8日(火)19時13分16秒
返信・引用
  > 例えばy(7) = 35ですが、これはv(t)のグラフのどこに、どのような形で現れるでしょうか?

y(7) = 35 ということは、この関数が切片0の等速運動のグラフだとすると傾きが5ということになり、
y'(7) = v(7) = 5
となります。つまりグラフの切片としてあらわれると思います。

しかしこれでは

> v(t)のグラフだけを手がかりにy(t)の値を復元することはできるでしょうか?

という問いには答えていない気がします。
思うに、
y'(7) = v(7) = 5
のような場合、( )の中の数字と = の右側の数字を掛けると y( ) =
の右側の数字になる。
すなわち、y'(t) = v(t) = a のとき、
y(t) = at

となるのではないでしょうか?
 

主役交代

 投稿者:ケツ門科  投稿日:2008年 4月 3日(木)09時52分14秒
返信・引用
  y(t)のグラフの中で、v(t)の値は「傾き」として見出すことができます。
例えば、t = 7におけるv(t)、つまりv(7)は、
t = 7におけるy(t)の傾き、つまりy'(7)です。
すなわち、たとえv(t)のグラフを描いた紙を失くしてしまったとしても、
y(t)のグラフさえあればv(t)の値は分かります。

ここで主役を入れ替えて、y(t)のグラフを失くしたとき、
v(t)のグラフだけを手がかりにy(t)の値を復元することはできるでしょうか?
例えばy(7) = 35ですが、これはv(t)のグラフのどこに、どのような形で現れるでしょうか?
 

はい

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 1月24日(木)14時02分17秒
返信・引用
  オッケーです!!  

(無題)

 投稿者:宇肛科  投稿日:2008年 1月24日(木)13時48分57秒
返信・引用
  そうですね。この物体は秒速5mの一定の速さで運動しているので、
スピードメーターがあれば常に「5」を指しているはずであり、
速さのグラフはこのような平坦な直線になります。
これからは位置のグラフと速さのグラフという2種類のグラフが出てきますから、
縦軸に何を取るのかをしっかり意識することが重要です。
描いていただいたグラフの縦軸には「y」とありますが、
位置と同じ文字を用いると混乱が生じるので、速さのほうは「v」とでもしておきます。
よく関数をf(x)なんて表しているのを見かけると思いますが、
ここではyもvも、tの値によって定まるので、それぞれy(t)、v(t)と書くことにします。
(まぁv(t)はtにかかわらず一定ですが)。
位置y(t)のグラフの傾きが速さv(t)ですから、前に紹介した数学用語を用いると、
「v(t)は、y(t)の導関数である」
「y(t)を微分すると、v(t)になる」
などと言い表すことができ、式で書けば

v(t) = y'(t)

となります。
ここまではよいでしょうか?
 

はい

 投稿者:なまけもの  投稿日:2008年 1月23日(水)00時16分22秒
返信・引用
  こんな感じでしょうか  

(無題)

 投稿者:宇肛科  投稿日:2008年 1月18日(金)12時57分5秒
返信・引用 編集済
  高校で学ぶ微分の基本概念は説明し終えたので、
普通はこの後に計算やグラフを描く練習をするのですが、
めんどくさいので飛ばします。

で、概念の話を発展させます。

導関数の最も身近な例として、物理の「速さ」という概念を取っ掛かりに説明を始めました。
このとき、位置のグラフの傾きが速さに対応する、ということを見てきました。
ここで、主役を入れ替えて、「速さ」そのものを縦軸にとったグラフを考えてみましょう。
初めに出した例では y = t^2 というグラフでしたが、今回はもっと単純なものからやってみましょう。
まず、旧来の主役であった「位置」を縦軸にとった、下のようなグラフで表される運動があるとします。
1秒後には5m地点、2秒後には10m地点、3秒後には15m地点、……というふうに運動しています。
この運動について、「速さ」を縦軸にとってグラフを描くとどうなるでしょうか?
 

なるほど

 投稿者:なまけもの  投稿日:2007年11月26日(月)11時45分47秒
返信・引用
  やっと『微分』という言葉が出てきましたね。
ここからどう話が発展するのか、楽しみです。
 

(無題)

 投稿者:肛門科  投稿日:2007年11月24日(土)18時58分0秒
返信・引用
 
正解です。
このように、今まで微分を用いずに得ていた事柄に対しても、
微分を用いて確信を深めることができます。

ただ、いちいち
「このグラフの傾きは、こういう運動を考えたときの瞬間の速度に相当するので」
と記述するのは面倒なので、
力学から切り離して考えるために、数学用語と記号を用意します。

y = f(x)のグラフの、x = αにおける(つまり、点(α, f(α))における)接線の傾きを、
『f(x)の、x = α における微分係数』と呼び、『f'(α)』と表します。
さきほどの例では、f(x) = x^2 - 2x + 3, f(1) = 2, f'(1) = 0となります。
微分係数を求める際、個々の点に対していちいち計算を行なってもよいですが、
なまけものさんがやったように、先に「x^2 - 2x + 3」という関数全体を処理して
「2x - 2」という結果を得て、しかるのち個々の微分係数を検討する方法もあります。
これは、f(x) = x^2 - 2x + 3から、新しい関数f'(x) = 2x - 2を求める操作に相当します。
この新しい関数f'(x)のことを導関数と呼び、導関数を求めることを微分すると表現します。
導関数と微分係数の違いはあまり深く考えなくても良いのですが、
ようするに導関数f'(x)の個々の値、つまりf'(1)やf'(-2)などが微分係数である、と考えてください。
 

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